Question

拋物線y=ax²-2ax+b（a＞0）交x軸于A，B兩點，交y軸于C；且滿足OA•OB-OC=0，若C（0，-3）
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點為M，將此拋物線頂點沿直線y=-x-3平移，平移后的拋物線與x軸交于A′、B′兩點　若2≤A′B′≤6，試求出點M的橫坐標的取值范圍；
（3）過點C的直線y=x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=t，且0＜t＜1．依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設A點坐標為（x₁，0），（x₂，0）．
∵OA•OB-OC=0，
∴|x₁x₂|-3=0，
則|x₁x₂|=3，
又∵x₁＜0，x₂＞0，
∴x₁x₂＜3，
∴＜3，
又∵b=-3，
∴=-3，
∴a=1，
故函數解析式為y=x²-2x-3．

（2）設M（m，-m-3），平移后拋物線y=（x-m）²-m-3，
當A′B′=2時利用根與系數關系可得M點橫坐標x=-2，
當A′B′=6時利用根與系數關系可得M點橫坐標x=6，
故-2≤x≤6．

（3）當H在QB之間：
①△COQ∽△QHP，t=；
②△COQ∽△PHQ，t=，
當H在OQ之間：
∵PH∥OQ，
∴當Q與B重合時，△COQ∽△PHQ，t=．
分析：（1）設A點坐標為（x₁，0），（x₂，0），利用圖象求出b的值，根據根與系數的關系求出a的值，即可求出函數解析式．
（2）設出M點坐標，得到平移后的拋物線，根據根與系數的關系求出m的取值范圍．
（3）先假設存在，根據相似三角形的性質求出t的值即存在，若不存在t，則不存在．
點評：此題考查了拋物線與直線的性質及相似三角形的性質和根與系數的關系，綜合性較強，解答時要注意數形結合．