Question

【題目】如圖，ABCD是一塊邊長為8米的正方形苗圃，園林部門擬將其改造為矩形AEFG的形狀，其中點E在AB邊上，點G在A的延長線上，DG＝2BE，設BE的長為x米，改造后苗圃AEFG的面積為y平方米．

（1）求y與x之間的函數關系式（不需寫自變量的取值范圍）；

（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面積與原正方形苗圃ABCD的面積相等，此時BE的長為　 　米．

（3）當x為何值時改造后的矩形苗圃AEFG的最大面積？并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+8x+64；（2）4；（3）當x為2時改造后的矩形苗圃AEFG的最大面積，最大面積為72平方米

【解析】

（1）根據題意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面積可得y與x之間的函數關系式；

（2）根據題意可得正方形苗圃ABCD的面積為64，進而可得矩形苗圃AEFG的面積為64，進而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；

（3）根據二次函數的性質即可得到結論．

（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，

故答案為：y＝﹣2x2+8x+64；

（2）根據題意可得：﹣2x2+8x+64＝64，

解得：x1＝4，x2＝0（不合題意，舍去），

答：BE的長為4米；

故答案為：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；

（3）解析式變形為：y＝﹣2（x﹣2）2+72，

所以當x＝2時，y有最大值，

∴當x為2時改造后的矩形苗圃AEFG的最大面積，最大面積為72平方米．