Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）如圖2，連接BC，與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P位線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)；并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？
（3）如圖3，連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3）；

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x= =1

（2）解：設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分別代入得 ，解得k=﹣1，b=3，

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+3，

∵對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，

∴E（1，2），

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），

當(dāng)x=m 時(shí)，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3），F(xiàn)（m，﹣m2+2m+3），

∴線段DE=4﹣2=2，線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m；

∵PF∥DE，

∴當(dāng)PF=ED時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，即﹣m2+3m=2，解得m1=2，m2=1（不合題意，舍去），

∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形

（3）解：設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（x，0），使△ACQ為等腰三角形．分三種情況：

①如果QA=QC，那么（x+1）2=x2+32，

解得x=4，

則點(diǎn)Q1（4，0）；

②如果CA=CQ，那么12+32=x2+32，

解得x1=1，x2=﹣1（不合題意舍去），

則點(diǎn)Q2（1，0）；

③如果AC=AQ，那么12+32=（x+1）2，

解得x1= ﹣1，x2=﹣ ﹣1，

則點(diǎn)Q3（ ﹣1，0），Q4（﹣ ﹣1，0）；

綜上所述存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形．它的坐標(biāo)為：Q1（4，0），Q2（1，0），Q3（ ﹣1，0），Q4（﹣ ﹣1，0）．

【解析】（1）通過(guò)解方程-x2+2x+3=0可得A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用對(duì)稱(chēng)性可確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3，再確定E（1，2），D（1，4），表示出P（m，-m+3），F(xiàn)（m，-m2+2m+3），接著計(jì)算出DE=2，PF=-m2+3m，然后利用平行四邊形的判定方法得到-m2+3m=2，再解方程求出m即可．
（3）分三種情況：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；進(jìn)行討論即可求解．
【考點(diǎn)精析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)和坐標(biāo)確定位置對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)P，過(guò)P分別向x軸，y軸作垂線，垂足分別在x軸，y軸上，對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．