Question

【題目】如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸的交于點C，其中A點的坐標為（﹣3，0），點C的坐標為（0，﹣3），對稱軸為直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點P的坐標；

（3）設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）；（3）．

【解析】

（1）先根據點A坐標及對稱軸得出點B坐標，再利用待定系數法求解可得；

（2）利用（1）得到的解析式，可設點P的坐標為（a，a2+2a﹣3），則點P到OC的距離為|a|．然后依據S△POC＝4S△BOC列出關于a的方程，從而可求得a的值，于是可求得點P的坐標；

（3）先求得直線AC的解析式，設點D的坐標為（x，x2+2x﹣3），則點Q的坐標為（x，﹣x﹣3），然后可得到QD與x的函數的關系，最后利用配方法求得QD的最大值即可．

解：（1）∵拋物線與x軸的交點A（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，

∴拋物線與x軸的交點B的坐標為（1，0），

設拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），

將點C（0，﹣3）代入，得：﹣3a＝﹣3，

解得a＝1，

則拋物線解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；

（2）設點P的坐標為（a，a2+2a﹣3），則點P到OC的距離為|a|．

∵S△POC＝4S△BOC，

∴OC|a|＝4×OCOB，即×3×|a|＝4××3×1，解得a＝±4．

當a＝4時，點P的坐標為（4，21）；

當a＝﹣4時，點P的坐標為（﹣4，5）．

∴點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）．

（3）如圖所示：

設AC的解析式為y＝kx﹣3，將點A的坐標代入得：﹣3k﹣3＝0，解得k＝﹣1，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3．

設點D的坐標為（x，x2+2x﹣3），則點Q的坐標為（x，﹣x﹣3）．

∴QD＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x2+3x+﹣）＝﹣（x+）2+，

∴當x＝﹣時，QD有最大值，QD的最大值為．