Question

【題目】如圖，是的直徑，是的弦，延長到點，使，連結，過點作，垂足為.

（1）求證：；

（2）求證：為的切線；

（3）若的半徑為5，，求的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析 ；（2）見解析；(3)DE =

【解析】

（1）根據垂直平分線的判斷方法與性質易得AD是BC的垂直平分線，故可得AB=AC；
（2）連接OD，由平行線的性質，易得OD⊥DE，且DE過圓周上一點D故DE為的切線；
（3）由AB=AC，∠BAC=60°知△ABC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，可得AB=BC=10，借助三角函數的定義，求得AD=8, 由勾股定理得BC=6，根據DE=CD·sinC可得答案．

證明：(1)：連接AD

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°

又BD=CD

∴AD是BC的垂直平分線

∴AB=AC

(2)連接OD

∵點O、D分別是AB、BC的中點

∴OD∥AC

又DE⊥AC

∴OD⊥DE

∴DE為⊙O的切線

(3)由AB=AC,

∵⊙O的半徑為5

∴AB=BC=10, AD=8,由勾股定理BC=6

在Rt△CDE中，∠C=∠B

∴DE=CD·sinC=