Question

【題目】A，B兩地被大山阻隔，若要從A地到B地，只能沿著如圖所示的公路先從A地到C地，再由C地到B地．現計劃開鑿隧道A，B兩地直線貫通，經測量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道開通后與隧道開通前相比，從A地到B地的路程將縮短多少？（結果精確到0.1km，參考數據： ≈1.414， ≈1.732）

Answer 1

【答案】解：過點C作CD⊥AB與D，

∵AC=20km，∠CAB=30°，

∴CD= AC= ×20=10km，

AD=cos∠CABAC=cos30°×20=10 km，

∵∠CBA=45°，

∴BD=CD=10km，BC= CD=10 ≈14.14km

∴AB=AD+BD=10 +10≈27.32km．

則AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km．

答：從A地到B地的路程將縮短6.8km．

【解析】解非直角三角形時，若出現特殊角（30°、45°、60°），可過三角形的某一頂點作垂線，使特殊角處于直角三角形中，利用三角函數得出邊之間的關系，本題中所求的縮短距離就是求（AC+BC﹣AB）.