Question

m為給定的有理數，k為何值時，方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的根總為有理根？

Answer 1

解：方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的判別式
△=16（1-m）²-4（3m²-2m+4k）=4m²-24m+16-16k，
∵方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的根總為有理根，
∴△為完全平方式，
∴4m²-24m+16-16k=4（m²-6m+9）-20-16k，
∴-20-16k=0時，△是完全平方式，
解得k=-，
所以m為給定的有理數，k=-時，方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的根總為有理根．
分析：先計算出方程x²+4（1-m）x+3m²-2m+4k=0的△，△=16（1-m）²-4（3m²-2m+4k）=4m²-24m+16-16k，要原方程的根總為有理根，則△為完全平方式，即4m²-24m+16-16k是完全平方式時，-20-16k=0時總有有理根，求解即可得到k的值．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根是有理根的條件為判別式是完全平方數．