Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2-2ax+a+4（a＜0）經過點B．

（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．
①寫出點M′的坐標；
②將直線l繞點A按順時針方向旋轉得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉，在旋轉過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設⊙B, ⊙M′都與直線l′相切，半徑分別為R1、R2 ， 當R1+R2最大時，求直線l′旋轉的角度（即∠BAC的度數）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，
∴A（1，0），B（0，3），
又∵拋物線y=ax2-2ax+a+4（a＜0）經過點B，
∴a+4=3，
∴a=-1,
∴拋物線解析式為：y=x2+2x+3 .
（2）解：由（1）知拋物線解析式為y=x2+2x+3 ，
令y=0，
∴x2+2x+3=0 ，
∴x1=3，x2=-1，
設M（m，m2+2m+3 ），
又∵點M在第一象限，
∴0m3，
又∵A（1，0），B（0，3），
∴S=SΔABM=S四邊形OAMBSRtΔAOB，
=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB，
=×OB×xM+×OA×yM×OA×OB，
=×3×m+×1×（m2+2m+3）-×1×3，
=m2+m ,
=-（m-）2+，
∴當m=時，Smax＝.
（3）解：①由（2）知當m=時，Smax＝.
∴y=-+5+3=，
∴M′（，）.
②如圖：作BD⊥l′于點D，M′E⊥l′于點E，
∵⊙B, ⊙M′都與直線l′相切，
∴BD=R1，M′E=R2，
∴S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′，
即S=×AC×BD+×AC×M′E=×AC×（R1+R2），
當R1+R2最大時，AC就取得最小值，
∴AC⊥BM′時，AC取得最小值，
又∵M′（，），B（0，3），
∴BM′=,
∴S=××AC=.
∴AC=，
∵A（1，0），B（0，3），
∴AB=，
在Rt△ACB中，
∴cos∠BAD===，
∴∠BAD=45°，
即直線l′旋轉的角度45°.


【解析】（1）由直線解析式與坐標軸的交點即可得A（1，0），B（0，3），再將B點坐標代入拋物線求出a值，從而得出拋物線解析式.
（2）由（1）知拋物線解析式為y=x2+2x+3 ，A（1，0），B（0，3），設M（m，m2+2m+3 ），令y=0，結合已知條件即可得m的取值范圍為：
0m3，再由S=S四邊形OAMBSRtΔAOB=SΔOBM+SΔOAMSRtΔAOB，代入即可得出S=m2+m ,根據二次函數的性質即可求出最大值.
（3）①由（2）知當m=時，Smax＝.將m=代入拋物線解析式即可求出M的縱坐標，即M′（，）.
②作BD⊥l′于點D，M′E⊥l′于點E根據切線性質得BD=R1，M′E=R2，由三角形面積公式S=SΔABM=SΔABC+SΔACM′=×AC×（R1+R2），當R1+R2最大時，AC就取得最小值，即AC⊥BM′時，AC取得最小值，根據兩點間距離得BM′=,AB=，代入即可得AC=，在Rt△ACB中，由銳角三角函數定義得cos∠BAD===，根據特殊角的三角函數值即可得∠BAD=45°，即直線l′旋轉的角度45°.
【考點精析】關于本題考查的二次函數的最值和三角形的面積，需要了解如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；三角形的面積=1/2×底×高才能得出正確答案．