Question

【題目】已知拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的頂點為M，經過原點O且與x軸另一交點為A．

（1）求點A的坐標；

（2）若△AMO為等腰直角三角形，求拋物線C1的解析式；

（3）現將拋物線C1繞著點P（m，0）旋轉180°后得到拋物線C2，若拋物線C2的頂點為N，當b=1，且頂點N在拋物線C1上時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（﹣4，0）；（2）y=﹣x2﹣2x；（3）m=﹣2+或﹣2﹣．

【解析】試題分析：(1)、由拋物線經過原點可知當x=0時，y=0，由此可得關于x的一元二次方程，解方程即可求出拋物線x軸另一交點坐標；(2)、由△AMO為等腰直角三角形，拋物線的頂點為M，可求出b的值，再把原點坐標（0，0）代入求出a的值，即可求出拋物線C1的解析式；(3)、由b=1，易求線拋物線C1的解析式，設N（n，﹣1），再由點P（m，0）可求出n和m的關系，當頂點N在拋物線C1上可把N的坐標代入拋物線即可求出m的值．

試題解析：(1)、∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）經過原點O， ∴0=4a+b，

∴當ax2+4ax+4a+b=0時，則ax2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4，∴拋物線與x軸另一交點A坐標是（﹣4，0）；

(2)、∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如圖1） ∴頂點M坐標為（﹣2，b），

∵△AMO為等腰直角三角形， ∴b=2， ∵拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點，

∴a（0+2）2+2=0， 解得：a=﹣， ∴拋物線C1：y=﹣x2﹣2x；

(3)、∵b=1，拋物線C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b過原點，（如圖2） ∴a=﹣，

∴y=﹣（x+2）2+1=﹣x2﹣x， 設N（n，﹣1），又因為點P（m，0）， ∴n﹣m=m+2，

∴n=2m+2 即點N的坐標是（2m+2，﹣1）， ∵頂點N在拋物線C1上， ∴﹣1=﹣（2m+2+2）2+1，

解得：m=﹣2+或﹣2﹣．