Question

【題目】△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，點D是平面內不與點A和點B重合的一點，連接DB，將線段DB繞點D順時針旋轉α得到線段DE，連接AE、BE、CD．

（1）如圖①，點D與點A在直線BC的兩側，α＝60°時，的值是　 ；直線AE與直線CD相交所成的銳角的度數是　 度；

（2）如圖②，點D與點A在直線BC兩側，α＝90°時，求的值及直線AE與直線CD相交所成的銳角∠AMC的度數；

（3）當α＝90°，點D在直線AB的上方，S△ABD＝S△ABC，請直接寫出當點C、D、E在同一直線上時，的值．

Answer 1

【答案】（1）1，60；（2）∠AMC＝45°；（3）的值為2﹣或2+．

【解析】

（1）延長AE，CD交于點H，根據旋轉的性質可知DE=BD，∠BDE=60°，從而可知△BDE，從而可證△ABE≌△CBD，從而可知，再根據角的關系即可求出∠AHB；

（2）先證△ABE∽△CBD，可以得到，∠BAE＝∠BCD，繼而可以求出∠AMC的度數；

（3）分兩種情況討論即可：①點D，點A在直線BC兩側，②點A，點D在直線BC同側.

（1）如圖1，延長AE，CD交于點H，

∵將線段DB繞點D順時針旋轉α得到線段DE，

∴DE＝BD，∠BDE＝60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∴BD＝BE，∠DBE＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°，

∴∠ABE＝∠CBD，且BE＝BD，AB＝BC，

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD，∠DCB＝∠BAE，

∴＝1，

∵∠BAC+∠ACB＝120°，

∴∠BAE+∠CAE+∠ACB＝120°，

∴∠CAE+∠ACB+∠BCD＝120°

∴∠CAE+ACH＝120°，

∴∠AHB＝60°，

故答案為：1，60．

（2）∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴AB＝BC，∠ABC＝45°，

∵將線段DB繞點D順時針旋轉90°得到線段DE，

∴DE＝BD，∠BDE＝90°，

∴BE＝BD，∠DBE＝45°，

∴∠DBE＝∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBD，且，

∴△ABE∽△CBD，

∴，∠BAE＝∠BCD，

∵∠BAC+∠ACB＝135°＝∠ACB+∠CAM+∠BAE，

∴∠ACB+∠CAM+∠BCD＝∠CAM+∠ACM＝135°，

∴∠AMC＝45°；

（3）①若點D，點A在直線BC兩側，如圖3，分別取AC，BC中點G，H，連接GH，

∵，

∴點D在直線GH上，

∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，

∵點G，點H分別是AC，BC的中點，

∴GH∥AB，

∴∠DHB＝∠ABC＝45°，

∵點C、E、D三點共線，

∴∠CDB＝90°，且點H是BC中點，

∴DH＝CH＝BH，

∴∠HCD＝∠HDC，且∠HCD+∠HDC＝∠BHD＝45°，

∴∠HCD＝∠HDC＝22.5°，

∵∠BED＝∠BCE+∠CBE＝45°，

∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，

∴BE＝CE＝BD，

∴CD＝CE+DE＝（+1）BD，

∴；

②若點A，點D在直線BC同側，如圖4，分別取AC，BC中點G，H，連接GH，

∵，

∴點D在直線GH上，

∵∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC，DE＝BD，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DEB＝∠DBE＝45°，BE＝BD，

∵點G，點H分別是AC，BC的中點，

∴GH∥AB，

∴∠DHC＝∠ABC＝45°，

∵點C、E、D三點共線，

∴∠CDB＝90°，且點H是BC中點，

∴DH＝CH＝BH，

∴∠HBD＝∠HDB，且∠HBD+∠HDB＝∠CHD＝45°，

∴∠HBD＝∠HDB＝22.5°，

∵∠ECB＝67.5°，∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝67.5°，

∴∠BCE＝∠CBE＝67.5°，

∴BE＝CE＝BD，

∴CD＝CE﹣DE＝（﹣1）BD，

∴，

綜上所述：的值為或．