Question

【題目】已知：在和中，，，將如圖放置，使得的兩條邊分別經過點和點.

（1）當將如圖1擺放時，______.

（2）當將如圖2擺放時，試問：等于多少度？請說明理由.

（3）如圖2，是否存在將擺放到某個位置時，使得，分別平分和？如果存在，請畫出圖形或說明理由.如果不存在，請改變題目中的一個已知條件，使之存在.

Answer 1

【答案】（1）116；（2）316；（3）不存在，理由詳見解析.

【解析】

（1）由三角形內角和定理得：∠D=180°-（∠E+∠F）=80°，∠DBC+∠DCB=180°-∠D=100°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，求出∠ABF+∠ACE=180°-（∠ABC+∠DBC）+180°-（∠ACB+∠DCB），即可得出結果；
（2）由三角形內角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，∠D=80°，∠BCD+∠CBD=180°-∠D=100°，得出∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）-（∠BCD+∠CBD）=44°，再由平角的性質即可得出結果；
（3）假設能將△DEF擺放到某個位置時，使得BD、CD同時平分∠ABC和∠ACB．則∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，與三角形內角和定理矛盾，所以不存在．如果存在，根據兩內角平分線模型，可知∠D=90°+ ∠A，題中∠D=80°，∠A=36°，只要∠E+∠F=100°改成∠E+∠F=72°即可．

解：（1）由三角形內角和定理得：∠D=180°-（∠E+∠F）=180°-100°=80°，
∴∠DBC+∠DCB=180°-∠D=100°，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，
∴∠ABF+∠ACE=180°-（∠ABC+∠DBC）+180°-（∠ACB+∠DCB）=360°-100°-144°=116°；
故答案為：116；

（2）∠ABF+∠ACE=316°；理由如下；在△ABC中，∠A=36°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=144°，
在△DEF中，∠E+∠F=100°，
∴∠D=180°-100°=80°，
∴∠BCD+∠CBD=180°-∠D=100°，
∴∠ABD+∠ACD=（∠ABC+∠ACB）-（∠BCD+∠CBD）=144°-100°=44°，
∴∠ABF+∠ACE=180°-∠ABD+180°-∠ACD=360°-（∠ABD+∠ACD）=360°-44°=316°；

（3）不存在．假設能將△DEF擺放到某個位置時，使得BD、CD同時平分∠ABC和∠ACB．
則∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，
那么∠ABC+∠ACB=200°，與三角形內角和定理矛盾，
∴不存在；
如果存在，根據兩內角平分線模型，可知∠D=90°+∠A，題中∠D=80°，∠A=36°，
∴只要∠E+∠F=100°改成∠E+∠F=72°．