Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O直徑，AC=CD，連接AD交BC于點M，延長MC到N，使CN=CM．
（1）判斷直線AN是否為⊙O的切線，并說明理由；
（2）若AC=10，tan∠CAD=，求AD的長．

Answer 1

解：（1）直線AN是⊙O的切線，理由是：
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵CN=CM，
∴∠CAN=∠DAC，
∵AC=CD，
∴∠D=∠DAC，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠NAC，
∵∠B+∠BAC=90°，
∴∠NAC+∠BAC=90°，
∴OA⊥AN，
∴直線AN是⊙O的切線；

（2）過點C作CE⊥AD，
∵tan∠CAD=，
∴=，
∵AC=10，
∴設CE=3x，則AE=4x，
在Rt△ACE中，根據勾股定理，CE²+AE²=AC²，
∴（3x）²+（4x）²=100，
解得x=2，
∴AE=8，
∵AC=CD，
∴AD=2AE=2×8=16．
分析：（1）由MC=CN，且得出AC垂直于MN，則△AMC是等腰三角形，所以∠CAN=∠DAC，再由AC=DC，則∠D=∠DAC，根據同弧所對的圓周角相等得出∠B=∠D，從而得出∠B=∠NAC，即可得出∠BAN=90°；
（2）等腰三角形ACD中，兩腰AC=CD=10，且已知底角正切值，過點C作CE⊥AD，底邊長AD可以求出來．
點評：本題考查了切線的判定和性質，圓周角定理以及解直角三角形，是基礎知識比較簡單．