Question

【題目】如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于點C，BD平分∠ABC，交AE于點D，連接CD．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若AB=5，AC=6，求AE，BF之間的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據平行線的性質得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根據角平分線定義得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根據等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根據平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出答案；

（2）先求出BD的長，求出菱形的面積，即可求出答案．

試題解析：（1）∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，

∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，

∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，

∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，

∴AB=BC，AB=AD

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD=AB，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）過A作AM⊥BC于M，則AM的長是AE，BF之間的距離，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=OC=AC=×6=3，

∵AB=5，

∴在Rt△AOB中，由勾股定理得：BO=4，

∴BD=2BO=8，

∴菱形ABCD的面積為×AC×BD=×6×8=24，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=AB=5，

∴5×AM=24，

∴AM=，

即AE，BF之間的距離是．