Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AC平分∠DAB，直線DC與AB的延長線相交于點P，AD與PC延長線垂直，垂足為點D，CE平分∠ACB，交AB于點F，交⊙O于點E．
（1）求證：PC與⊙O相切；
（2）求證：PC=PF；
（3）若AC=8，tan∠ABC=，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OC，根據角平分線的定義、等腰三角形的性質得到∠DAC=∠OCA，得到OC∥AD，根據平行線的性質得到OC⊥PD，根據切線的判定定理證明結論；
（2）根據圓周角定理、三角形的外角的性質證明∠PFC=∠PCF，根據等腰三角形的判定定理證明；
（3）連接AE，根據正切的定義求出BC，根據勾股定理求出AB，根據等腰直角三角形的性質計算即可．

（1）證明：連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，又AD⊥PD，

∴OC⊥PD，
∴PC與⊙O相切；
（2）證明：∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴弧AE=弧BE，
∴∠ABE=∠ECB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BCP+∠OCB=90°，
∴∠BCP=∠BAC，
∵∠BAC=∠BEC，
∴∠BCP=∠BEC，
∵∠PFC=∠BEC+∠ABE，∠PCF=∠ECB+∠BCP，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF；
（3）解：連接AE，

在Rt△ACB中，tan∠ABC=，AC=8，
∴BC=6，
由勾股定理得，AB==10，
∵弧AE=弧BE，
∴AE=BE，
則△AEB為等腰直角三角形，
∴BE=．