Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉一定的角度α得到△DEC，點A、B的對應點分別是D、E．

（1）當點E恰好在AC上時，如圖1，求∠ADE的大小；

（2）若α＝60°時，點F是邊AC中點，如圖2，求證：四邊形BEDF是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）∠ADE＝15°；（2）見解析．

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，根據等邊對等角即可求出∠CAD＝∠CDA＝75°，再根據直角三角形的兩個銳角互余即可得出結論；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BF＝AC，然后根據30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求出AB＝AC，從而得出 BF＝AB，然后證出△ACD和△BCE為等邊三角形，再利用HL證出△CFD≌△ABC，證出DF＝BE，即可證出結論．

（1）解：∵△ABC繞點C順時針旋轉α得到△DEC，點E恰好在AC上，

∴CA＝CD，∠ECD＝∠BCA＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°，

∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠ADE＝90°﹣∠CAD＝15°；

（2）證明：如圖2，連接AD

∵點F是邊AC中點，

∴BF＝AF=CF＝AC，

∵∠ACB＝30°，

∴AB＝AC，

∴BF=CF＝AB，

∵△ABC繞點C順時針旋轉60得到△DEC，

∴∠BCE＝∠ACD＝60°，CB＝CE，DE＝AB，DC=AC

∴DE＝BF，△ACD和△BCE為等邊三角形，

∴BE＝CB，

∵點F為△ACD的邊AC的中點，

∴DF⊥AC，

在Rt△CFD和Rt△ABC中

∴Rt△CFD≌Rt△ABC，

∴DF＝BC，

∴DF＝BE，

而BF＝DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形．