Question

【題目】已知△．

（1）在圖中用直尺和圓規(guī)作出的平分線和邊的垂直平分線交于點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)、分別是邊和上的點(diǎn)，且，連接求證：；

（3）如圖，在（1）的條件下，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)等于邊的長(zhǎng)，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）與的數(shù)量關(guān)系是，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用基本作圖作∠ABC的平分線；利用基本作圖作BC的垂直平分線，即可完成；
（2）如圖，設(shè)BC的垂直平分線交BC于G，作OH⊥AB于H，

用角平分線的性質(zhì)證明OH=OG，BH=BG，繼而證明EH =DG，然后可證明,于是可得到OE=OD；

（3）作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，利用(2)得到 CD=BE，，OE=OD，,,可證明,故有,由△的周長(zhǎng)=BC可得到DF=EF,于是可證明,所以有,然后可得到與的數(shù)量關(guān)系.

解：（1）如圖，就是所要求作的圖形；

（2）如圖，設(shè)BC的垂直平分線交BC于G，作OH⊥AB于H，

∵BO平分∠ABC，OH⊥AB，OG垂直平分BC，
∴OH=OG，CG=BG，

∵OB=OB,

∴,
∴BH=BG，
∵BE=CD，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，

在和中,

,

∴,
∴OE=OD．

（3）與的數(shù)量關(guān)系是，理由如下；

如圖，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，

由(2)可知，因?yàn)?/span> CD=BE，所以且OE=OD，

∴,,

∴,

∴,

∵△的周長(zhǎng)=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC

∴DF=EF,

在△和△中,

,

∴,
∴,

∴,

∴.