Question

【題目】已知：點C為∠AOB內一點．

（1）在OA上求作點D，在OB上求作點E，使△CDE的周長最小，請畫出圖形；（不寫做法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△CDE周長的最小值為10．

【解析】

（1）分別作C點關于OA、OB的對稱點M、N，然后連接MN分別交OA、OB于D、E，利用兩點之間線段最短可判斷此時△CDE的周長最小；

（2）利用對稱的性質得到OM=OC=10，∠MOA=∠COA，ON=OC=10，∠NOB=∠COB，則△DCE的周長為MN，再證明△OMN為等邊三角形，從而得到MN=OM=10，所以△CDE周長的最小值為10．

（1）如圖，△CDE為所作；

（2）∵點M與點C關于OA對稱，

∴OM=OC=10，∠MOA=∠COA，DM=DC．

∵點N與點C關于OB對稱，

∴ON=OC=10，∠NOB=∠COB，EC=EN，

∴△DCE的周長為CD+CE+DE=DM+DE+EN=MN，

∴此時△DCE的周長最小．

∵∠MOA+∠NOB=∠COA+∠COB=∠AOB=30°，

∴∠MON=30°+30°=60°，

∴△OMN為等邊三角形，

∴MN=OM=10，

∴△CDE周長的最小值為10．