Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，BC＝3CD，分別過點B，D作AD，AB的平行線，并交于點E，且ED交AC于點F，AD＝3DF．

（1）求證：△CFD∽△CAB；

（2）求證：四邊形ABED為菱形；

（3）若DF＝，BC＝9，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形ABED的面積為24．

【解析】

（1）由平行線的性質和公共角即可得出結論；

（2）先證明四邊形ABED是平行四邊形，再證出AD＝AB，即可得出四邊形ABED為菱形；

（3）連接AE交BD于O，由菱形的性質得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性質得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面積公式即可得出結果．

（1）證明：∵EF∥AB，

∴∠CFD＝∠CAB，

又∵∠C＝∠C，

∴△CFD∽△CAB；

（2）證明：∵EF∥AB，BE∥AD，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∵BC＝3CD，

∴BC：CD＝3：1，

∵△CFD∽△CAB，

∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，

∴AB＝3DF，

∵AD＝3DF，

∴AD＝AB，

∴四邊形ABED為菱形；

（3）解：連接AE交BD于O，如圖所示：

∵四邊形ABED為菱形，

∴BD⊥AE，OB＝OD，

∴∠AOB＝90°，

∵△CFD∽△CAB，

∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，

∴AB＝3DF＝5，

∵BC＝3CD＝9，

∴CD＝3，BD＝6，

∴OB＝3，

由勾股定理得：OA＝＝4，

∴AE＝8，

∴四邊形ABED的面積＝AE×BD＝×8×6＝24．