Question

在ABCD中，對角線AC與BD交于點O，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F.

（1）在圖1中，證明CE=CF；
（2）若，∠BAD=90°， G是EF的中點（如圖2），連結OG，判斷OG與BD的位置關系與數量關系，并給出證明；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，連結OG（如圖3），判斷OG與BD的位置關系與數量關系，并給出證明.

Answer 1

（1）通過證明∠BAE=∠DAF從而得出EC=FC
（2）OG=BD,  OG⊥BD
（3）BD=OG, OG⊥BD

試題分析：（1）在平行四邊形ABCD中，AD∥BC,AB∥CD, ∴∠DAF="∠CEF," ∠BAE=∠DFE,
∵∠BAE="∠DAF," ∴EC=FC （運用兩直線平行，內錯角相等即可。）
（2）證明：連結BG,DG,

易知在Rt△ABE中∠BAE=45°，
所以BE=AB
∵BE=AB=DC,EG=CG,∠BEG=135°=∠DCG
∴△BEG≌△DCG，所以BG=DG
∴∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=90°
∴△BDG是等腰直角三角形
∴∠BDG=45°
∴根據等腰三角形三線合一可得 OG=BD,  OG⊥BD    
（3） 證明：連BG、CG

易證四邊形CEGF是菱形
又∠ABC=120°
∴EG=CG
又∠BEG=120°=∠DCG，BE=AB=DC
∴△BEG≌△DCG
∴BG=DG，∠BGE=∠DGC
∴∠BGD=∠EGC=60°
∴△BGD是等邊三角形
∴∠BDG=60°   
所以，根據三線合一可知OG⊥BD。在Rt△DEG中，OD=，又因為BD=2OD，所以：BD=OG
點評：本題難度較大，主要考查學生對全等三角形的判斷及性質綜合運用能力，注意數形結合應用，作輔助線構成全等三角形為解題關鍵。