Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF中點，則AM的最小值為_____．

Answer 1

【答案】1.2

【解析】

根據勾股定理的逆定理可以證明∠BAC=90°；根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，則AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根據三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形AEPF是矩形，根據矩形的對角線相等，得EF=AP，則EF的最小值即為AP的最小值，根據垂線段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．

∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

即∠BAC=90°.

又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，

∴四邊形AEPF是矩形，

∴EF=AP.

∵M是EF的中點，

∴AM=EF=AP.

因為AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即2.4，

∴AM的最小值是1.2.