Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E．在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．

（1）求證：BE=CF；

（2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME．

求證：①M(fèi)E⊥BC；②CM平分∠ACE．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據(jù)同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；

（2）①過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；

②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等即可得到結(jié)論．

證明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵FC⊥BC，

∴∠BCF=90°，

∴∠ACF=90°﹣45°=45°，

∴∠B=∠ACF，

∵∠BAC=90°，F(xiàn)A⊥AE，

∴∠BAE+∠CAE=90°，

∠CAF+∠CAE=90°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴BE=CF；

（2）①如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，

∴HE=BH，∠BEH=45°，

∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，

∴DE=HE，

∴DE=BH=HE，

∵BM=2DE，

∴HE=HM，

∴△HEM是等腰直角三角形，

∴∠MEH=45°，

∴∠BEM=45°+45°=90°，

∴ME⊥BC；

②由題意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，

∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，

∴∠CAE=∠CEA=67.5°，

∴AC=CE，

在Rt△ACM和Rt△ECM中

，，

∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），

∴∠ACM=∠ECM，

∴CM平分∠ACE．