Question

已知：如圖1，射線AM∥射線BN，AB是它們的公垂線，點D、C分別在AM、BN上運動（點D與點A不重合、點C與點B不重合），E是AB邊上的動點（點E與A、B不重合），在運動過程中始終保持DE⊥EC，且AD+DE=AB=a．
（1）求證：△ADE∽△BEC；
（2）如圖2，當點E為AB邊的中點時，求證：AD+BC=CD；
（3）設AE=m，請探究：△BEC的周長是否與m值有關？若有關，請用含有m的代數式表示△BEC的周長；若無關，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證△ADE∽△BEC，由圖形知證明兩組對應角相等即可；
（2）梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半，可過點E作EF∥BC，交CD于點F，得出EF=

1

2

(AD+BC)，根據直角三角形的性質即可證明AD+BC=CD；
（3）根據△ADE∽△BEC，設AD=x，可以先求△ADE的周長，根據相似比得出△BEC的周長=2a，與m值無關．

解答：（1）證明：∵DE⊥EC，
∴∠DEC=90°．
∴∠AED+∠BEC=90°
又∵∠A=∠B=90°
∴∠AED+∠EDA=90°．
∴∠BEC=∠EDA．∴△ADE∽△BEC．

（2）證明：如圖，過點E作EF∥BC，交CD于點F，
∵E是AB的中點，根據平行線等分線段定理，得F為CD的中點，
∴EF=

1

2

(AD+BC)．
在Rt△DEC中，∵DF=CF，
∴EF=

1

2

CD．
∴

1

2

(AD+BC)=

1

2

CD．
∴AD+BC=CD．

（3）解：△AED的周長=AE+AD+DE=a+m，BE=a-m．
設AD=x，則DE=a-x．
∵∠A=90°，
∴DE²=AE²+AD²．
即a²-2ax+x²=m²+x²．
∴x=

a2-m2

2a

．
由（1）知△ADE∽△BEC，
∴

△ADE的周長

△BEC的周長

=

AD

BE

=

a2-m2 2a

a-m

=

a+m

2a

．
∵C△ADE=a+m，
∴C△BEC=2a，
∴無影響．（8分）

點評：本題考查梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半，三角形的相關知識，相似三角形的性質，綜合性較強．