Question

【題目】點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a、b，A、B之間的距離可表示為AB＝|a﹣b|．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)分別表示有理數(shù)﹣1和x．

（1）若AB＝4時(shí)，則x的值為　 ；

（2）當(dāng)x＝7時(shí)，點(diǎn)A，B分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．求經(jīng)過(guò)多少秒后，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離的2倍；

（3）如圖，點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)在數(shù)軸上分別表示的數(shù)為﹣4，﹣1，2，6．是否存在點(diǎn)P在數(shù)軸上，使得點(diǎn)P到這四點(diǎn)的距離總和的最小？若存在，請(qǐng)直接寫點(diǎn)P的位置和距離總和的最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）某一直線沿街有2020戶民，假定相鄰兩戶居民間隔相同，分別記為a1，a2，a3，a4，a5，…，a2020．某餐飲公司想為這2020戶居民提供早餐，決定在路旁建立一個(gè)快餐店P．請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)P選在何處，才能使這2020戶居民到點(diǎn)P的距離總和最小？試說(shuō)明原因．

Answer 1

【答案】（1）3或﹣5；（2）經(jīng)過(guò)秒或5秒后，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離的2倍；（3）點(diǎn)P在B與C之間時(shí)，點(diǎn)P到這四點(diǎn)的距離總和的最小，其最小值為13；（4）點(diǎn)P選在a1020與a1011之間，才能使這2020戶居民到點(diǎn)P的距離總和最小，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)距離公式AB＝|a﹣b|，分點(diǎn)B在點(diǎn)A左、右兩側(cè)兩種情況解答即可；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離的2倍，則A點(diǎn)表示的數(shù)為（﹣1﹣t），B點(diǎn)表示的數(shù)為（7﹣t），然后分點(diǎn)B在原點(diǎn)左右兩邊，列方程可求得結(jié)果；
（3）設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，分別求出當(dāng)x＜﹣4時(shí)，當(dāng)﹣4≤x＜﹣1時(shí)，當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，當(dāng)2≤x＜6時(shí)，當(dāng)x≥6時(shí)，點(diǎn)P到這四點(diǎn)的距離總和，然后比較求出最小值即可；
（4）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離，先分析有2戶居民點(diǎn)P的位置，有3戶居民點(diǎn)P的位置，有4戶居民點(diǎn)P的位置，…，最后根據(jù)規(guī)律可得出有2020戶居民點(diǎn)P的位置即可得到結(jié)論．

解：（1）∵AB＝4，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)分別表示有理數(shù)﹣1和x，

∴當(dāng)B點(diǎn)在A點(diǎn)右邊時(shí)，x＝﹣1+4＝3，

當(dāng)B點(diǎn)在A點(diǎn)左邊時(shí)，x＝﹣1﹣4＝﹣5，

故答案為：3或﹣5；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離的2倍，則A點(diǎn)表示的數(shù)為（﹣1﹣t），B點(diǎn)表示的數(shù)為（7﹣t），

①當(dāng)B點(diǎn)在原點(diǎn)右邊時(shí)，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝7﹣2t，則

t+1＝2（7﹣2t），

解得，t＝，

②當(dāng)B點(diǎn)在原點(diǎn)左邊時(shí)，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝2t﹣7，則

t+1＝2（2t﹣7），

解得，t＝5，

綜上，t＝或5．

答：經(jīng)過(guò)秒或5秒后，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離的2倍；

（3）設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)為x，則

當(dāng)x＜﹣4時(shí)，距離之和為﹣4﹣x﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝3﹣4x＞19，

當(dāng)﹣4≤x＜﹣1時(shí)，距離為x+4﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝11﹣2x＞13，

當(dāng)﹣1≤x＜2時(shí)，距離為x+4+x+1+2﹣x+6﹣x＝13，

當(dāng)2≤x＜6時(shí)，時(shí)，距離為x+4+x+1+x﹣2+6﹣x＝9+2x≥13，

當(dāng)x≥6時(shí)，時(shí)，距離為x+4+x+1+x﹣2+x﹣6＝4x﹣3≥19，

∴當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，點(diǎn)P到這四點(diǎn)的距離總和的最小，其最小值為13，

即點(diǎn)P在B與C之間時(shí)，點(diǎn)P到這四點(diǎn)的距離總和的最小，其最小值為13；

（4）點(diǎn)P選在a1020與a1011之間，才能使這2020戶居民到點(diǎn)P的距離總和最小．

理由：若只有a1、a2居民戶，P建在a1與a2之間任何一點(diǎn)位置時(shí)，2戶居民到點(diǎn)P的距離和都為a1與a2間的距離，比建在a1與a2之外小；

若有a1，a2，a3三居民戶，P建在a3處時(shí)，3戶居民到點(diǎn)P的距離和最小，

若有a1，a2，a3，a4四居民戶，P建在a2與a3之間任何一點(diǎn)位置時(shí)，4戶居民到點(diǎn)P的距離和最小，

∴若有a1，a2，a3，a4，a5，…，a20202020戶，P建在a1010與a1011之間任何一點(diǎn)位置時(shí)，才能使這2020戶居民到點(diǎn)P的距離總和最小．