Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D是BC的中點，把一個三角板的直角頂點放在點D處，將三角板繞點D旋轉且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F .

（1）如圖1，觀察旋轉過程，猜想線段AF與BE的數量關系并證明你的結論；
（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數量關系，直接寫出你的結論
（不需證明）；
（3）如圖3，若將“AB=AC，點D是BC的中點”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點D”，其余條件不變，探索（1）中結論是否成立？若不成立，請探索關于AF、BE的比值.

Answer 1

（1）BE=AF；（2）；（3）

試題分析：（1）連接AD，利用等腰三角形中的三線合一，即可證得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，證得∠5=∠4，則可得△BDE≌△ADF，則AF=BE；
（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，即可得到；
（3）可證得有兩角對應相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函數即可求得比值．
（1）如圖，連接AD，

∵AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC的中點
∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°
∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°
∴∠3+∠5==90°
∵∠3+∠4==90°
∴∠5=∠4
∵BD=AD
∴△BDE≌△ADF.
∴BE=AF；
（2）根據（1）可得BE=AF，
所以AB-BE=AC-AF，即AE=FC，
∵∠BAC=90°，
∴，
∴
（3）（1）中的結論BE=AF不成立.  

∵∠B=30°，AD⊥BC于點D，∠BAC=90°,
∴∠3+∠5==90°，  ∠B+∠1==90°.
∵∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90°    
∴∠B="∠2" ，  ∠5=∠4.
∴△BDE∽△ADF.
∴.
點評：此題圖形變化很多，而且圖形復雜，屬于中等難度的題目，解題時要注意數形結合思想的應用．