Question

【題目】如圖，在中，AB=2AD，DE平分∠ADC，交AB于點E，交CB的延長線于點F，EG∥AD交DC于點G.

⑴求證：四邊形AEGD為菱形；

⑵若，AD=2，求DF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4．

【解析】

（1）先證出四邊形AEGD是平行四邊形，再由平行線的性質和角平分線證出∠ADE=∠AED，得出AD=AE，即可得出結論；
（2）連接AG交DF于H，由菱形的性質得出AD=DG，AG⊥DE，證出△ADG是等邊三角形，AG=AD=2，得出∠ADH=30°，AH=AG=1，由直角三角形的性質得出DH=AH=，得出DE=2DH=2，證出DG=BE，由平行線的性質得出∠EDG=∠FEB，∠DGE=∠C=∠EBF，證明△DGE≌△EBF得出DE=EF，即可得出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠AED=∠GDE，
∵AE∥DG，EG∥AD，
∴四邊形AEGD是平行四邊形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠GDE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴四邊形AEGD為菱形；
（2）解：連接AG交DF于H，如圖所示：

∵四邊形AEGD為菱形，
∴AD=DG，AG⊥DE，
∵∠ADC=60°，AD=2，
∴△ADG是等邊三角形，AG=AD=2，
∴∠ADH=30°，AH=AG=1，
∴DH=AH=，
∴DE=2DH=2，
∵AD=AE，AB=2AD，AD∥CF，EG∥AD，
∴DG=BE，∠EDG=∠FEB，∠DGE=∠C=∠EBF，
在△DGE和△EBF中，

∴△DGE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF，
∴DF=2DE=4．