Question

【題目】（1）觀察圖形：

如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．

①寫出圖1中所有的全等三角形_________________；

②線段AF與線段CE的數量關系是_________________；

（2）問題探究：

如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．

求證：AE=2CD．

（3）拓展延伸：

如圖3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，點D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足為E，DE與BC交于點F．

求證：DF=2CE．

Answer 1

【答案】（1）①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE；（2）答案見解析；（3）答案見解析

【解析】

試題觀察圖形：①由全等三角形的判定方法容易得出結果；
②由全等三角形的性質即可得出結論；
問題探究：延長交于點，由ASA證明≌，得出對應邊相等 即 證出 由ASA證明≌得出即可．
拓展延伸：作DG⊥BC于點H，交CE的延長線于G，同上證明三角形全等，得出即可．

試題解析：

（1）觀察圖形：

①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；

②AF=2CE；

（2）問題探究：

證明：延長AB、CD交于點G，如圖2所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠GAD，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ADG=90°，

在△ADC和△ADG中，

，

∴△ADC≌△ADG（ASA），

∴CD=GD，

即CG=2CD，

∵∠BAC=45°，AB=BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠CBG=90°，

∴∠G+∠BCG=90°，

∵∠G+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠BCG，

在△ABE和△CBG中，

∴△ADC≌△CBG（ASA），

∴AE=CG=2CD．

（3）拓展延伸：

證明：作DG⊥BC于點H，交CE的延長線于G，

∵∠BAC=45°，AB=BC，

∴AB⊥BC，

∴DG∥AB，

∴∠GDC=∠BAC=45°，

∴∠EDC=∠BAC=22.5°=∠EDG，DH=CH，

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=∠DEG=90°，

在△DEC和△DEG中，

∴△DEC≌△DEG（ASA），

∴DC=DG，CG=2CE，

∵∠DHF=∠CEF=90°，∠DFH=∠CFE，

∴∠FDH=∠GCH，

在△DHF和△CHG中，

∴△DHF≌△CHG（ASA）,

∴DF=CG=2CE．