Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是邊BC上一點，DE⊥AB于點E，點F是線段AD上一點，連結EF、CF.

（1）若AD平分∠BAC，求證：EF=CF.

（2）若點F是線段AD的中點，試猜想線段EF與CF的大小關系，并加以證明.

（3）在（2）的條件下，若∠BAC=45°，AD=6，直接寫出C、E兩點間的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=CF.理由見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB=90°可得：∠1 =∠2，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，DE= DC，則∠3=∠4，則在△DEF≌△DCF，再根據全等三角形的性質可得出EF=CF；（2）在Rt△AED和Rt△ACD中，由點F是線段AD的中點可得： ， ，所以EF=CF；（3）由AD=6，EF＝CF＝ AD＝AF＝DF＝3可得：∠DFE＝2∠FAE,∠CFD＝2∠CAF,所以∠EFC＝2∠CAE＝90°，即△CEF是直角三角形，所以CE＝ ；

試題解析：

（1）如圖所示：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠1 =∠2，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，DE= DC.

∴∠3=∠4.

∵DF = DF，

∴△DEF≌△DCF.

∴EF=CF.

（2）EF=CF. （只寫結論給1分）

在Rt△AED和Rt△ACD中，

∵點F是線段AD的中點，

∴， ，

∴EF=CF. \

（3）.