Question

【題目】如圖，中，，點是邊上一點．以為圓心長為半徑的⊙O與邊相切于點，與邊相交于點，連接交⊙O于點，連接．

（1）求證：．

（2）若⊙O的半徑為．

①當的長為　　　　時，四邊形為菱形；

②若．則的長為　　　　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②

【解析】

（1）利用全等三角形的判定證明即可證明結論;

(2)①運用菱形的性質可得均為等邊三角形，即可得出∠BOD的度數，即可求得的長；

②利用勾股定理求出CD的長度，再利用勾股定理列出方程，求解即可得出答案．

(1)∵⊙O與邊相切于點,

∴∠ADO=90°,

∴∠ADO=∠ABO=90°,

又∵OB=OD，OA=OA,

∴,

∴∠AOB=∠AOD,

∴,

∴BE=ED．

（2）①∵四邊形為菱形,

∴BE=BO=ED=OD,

∵OB=OE,

∴OB=OE=BE,OE=ED=OD,

∴均為等邊三角形,

∴∠BOE=∠EOD=60°,

∴∠BOD=120°,

∴的長為,

∴的長為時，四邊形為菱形．

故答案為：．

②設AD=x,

∵,

∴AB=AD=x,

在中，OC=3+2=5，OD=3,

∴CD=,

∴AC=x+4,

在Rt△ABC中，,

∴,

∴,

∴．

故答案為:6．