Question

【題目】如圖，已知一個三角形紙片，其中，分別是邊上的點，連接．

（1）如圖，若將紙片的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，且使S四邊形ECBF，求的長；

（2）如圖，若將紙片的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，且使．試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）菱形，見解析；

【解析】

（1）先利用折疊的性質得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S△AEF=S△DEF，則易得S△ABC=5S△AEF，再證明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根據相似三角形的性質得到兩個三角形面積比和AB，AE的關系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長；
（2）連結AM交EF于點O，利用平行線的性質證明AE=EM=MF=AF，即可判斷四邊形AEMF為菱形；

解：（1）∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，
∵S四邊形ECBF=4S△EDF，
∴S△ABC=5S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴ ，即，
∴AE=2，
由折疊知，DE=AE=2
（2）連結AM交EF于點O，如圖2，

∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點A落在AB邊上的點D處，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四邊形AEMF為菱形.