Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）求證：EO=FO；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角對等邊即可證得OE=OF；

（2）根據矩形的性質可知：對角線且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．

（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，

∴OE=OC，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）解：當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，

∵AO=CO，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECA+∠ACF=∠BCD，

∴∠ECF=90°，

∴四邊形AECF是矩形．