Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與坐標軸分別交于、兩點，拋物線過、兩點，點為線段上一動點，過點作軸于點，交拋物線于點．

求拋物線的解析式．

求面積的最大值．

連接，是否存在點，使得和相似？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）存在點，使得和相似，點的坐標為或．

【解析】

（1）首先求出點A、B的坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）設點C坐標為（m，0）（m＜0），則點E坐標為（m，-m2-3m+4），從而得出OC=-m、OF=-m2-3m+4、BF=-m2-3m，根據S△ABE=S梯形AOFE-S△AOB-S△BEF得出S=-2（m+2）2+8，據此可得答案；

（3）由于△ACD為等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，則△DBE必為等腰直角三角形．分兩種情況討論，要點是求出點E的坐標，由于點E在拋物線上，則可以由此列出方程求出未知數．

在直線解析式中，令，得；令，得，

∴，．

∵點，在拋物線上，

∴，

解得：，，

∴拋物線的解析式為：．

如圖，連接、過點作軸于點，

設點坐標為，則點坐標為，

則，，

∵，

∴，

則

．

，

∵，

∴當時，取得最大值，最大值為．

即面積的最大值為．設點坐標為，則，，，

則．

∵為等腰直角三角形，和相似

∴必為等腰直角三角形．

若，則，

∵，

∴，

∴，

∴．

∵點在拋物線上，

∴，解得（不合題意，舍去）或，

∴；

若，則，

在等腰直角三角形中，，

∴，

∴．

∵點在拋物線上，

∴，解得（不合題意，舍去）或，

∴．

綜上所述，存在點，使得和相似，點的坐標為或．