Question

【題目】孔明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，兩直角邊與該拋物線交于、兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

（1）若測(cè)得（如圖1），求的值；

（2）對(duì)同一條拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置時(shí)，過(guò)作軸于點(diǎn)，測(cè)得，寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（3）對(duì)該拋物線，孔明將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，試說(shuō)明理由并求出該點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1） （2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 （3）恒過(guò)點(diǎn)（，）

【解析】

試題分析：

（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線可得值

（2）過(guò)點(diǎn)作軸，可證△∽△，得出，可得方程點(diǎn)的橫坐標(biāo)

（3）設(shè)（，）（），（，）（），易知△∽△，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可知交點(diǎn)、的連線段總經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)（，）

試題解析：

解：（1）設(shè)線段與軸的交點(diǎn)為，由對(duì)稱性可得為中點(diǎn)，

∵ ，，

∴，∴（，）

將（，）代入拋物線得，.

（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴ （1，），

∴.

又∵，易知，又，

∴△∽△，

∴

∴

設(shè)點(diǎn)（，）（），則，，

∴

∴，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

（3）設(shè)（，）（），（，）（），

設(shè)直線的解析式為：，則，

得，，

∴

又易知△∽△，

∴，∴，

∴

∴.

由此可知不論為何值，直線恒過(guò)點(diǎn)（，）