Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，PE、PF分別交AB、AC于點E、F．給出以下四個結論：

①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF＝S△ABC；

④EF＝AP．上述結論正確的有_____．

Answer 1

【答案】①②

【解析】

①在△APE和△CPF中，根據∠APE=∠CPF，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，證明APE≌△CPF（ASA），可知①正確；②根據①可得△EFP是等腰直角三角形，故②正確；③根據全等三角形面積相等得：S△APE=S△CPF，利用割補法得：S四邊形AEPF=S△APC= S△ABC，故③錯誤；④EF隨著點E的變化而變化，只有當點E為AB的中點時，EF=PE=AP，在其它位置時EF≠AP，故④錯誤.

①∵AB=AC，P是BC的中點，∠BAC=90°，

∴AP⊥BC，AP=BC=PC，

∴∠CPF+∠APF=90°，∠BAP=∠C=45°，

∵∠EPF=90°，

∴∠APE+∠APF=90°，

∴∠APE=∠CPF，

在△APE和△CPF中，

∵，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，

故①正確；

②∵△APE≌△CPF，

∴EP=FP，

∴△EFP是等腰直角三角形，

故②正確；

③∵△APE≌△CPF，

∴S△APE=S△CPF，

∴S四邊形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=S△ABC，

故③錯誤；

④由等腰直角三角形的性質，EF=PE，

所以，EF隨著點E的變化而變化，只有當點E為AB的中點時，EF=PE=AP，在其它位置時EF≠AP，

故④錯誤；

綜上所述，正確的結論有：①②

故答案為：①②