Question

【題目】已知拋物線G1：y=ax2+bx+c的頂點為（2，﹣3），且經過點（4，1）．

（1）求拋物線G1的解析式；

（2）將拋物線G1先向左平移3個單位，再向下平移1個單位后得到拋物線G2，且拋物線G2與x軸的負半軸相交于A點，求A點的坐標；

（3）如果直線m的解析式為，點B是（2）中拋物線G2上的一個點，且在對稱軸右側部分（含頂點）上運動，直線n過點A和點B．問：是否存在點B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似？若存在，求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，（2）A（﹣3，0）．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）先設為頂點式，再把頂點坐標和經過的點（4，1）代入即可解決，

（2）根據平移規則直接寫出拋物線G2的解析式，令y=0，即可求出點A的坐標，

（3）分為交點咋x軸上方，與下方進行分析，根據相似確定角的大小，進一步得到直線n的斜率，求出與y軸的交點坐標，由點A（﹣3，0），運用待定系數法，確定直線n的解析式，聯立拋物線G2，解方程組即可求解．

解：由拋物線G1：y=ax2+bx+c的頂點為（2，﹣3），且經過點（4，1），

可設拋物線G1：y=a（x﹣2）2﹣3，

把（4，1）代入得：1=4a﹣3，解得：a=1，

所以拋物線G1：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1，

（2）拋物線G1：y=（x﹣2）2﹣3先向左平移3個單位，再向下平移1個單位后得到拋物線G2：y=（x+1）2﹣4，

令y=0，得：0=（x+1）2﹣4，解得：x=﹣3，或x=1（舍去），

所以點A（﹣3，0）．

（3）直線m與x軸，y軸的交點分別為F，E，

當直線n與G2交點在x軸上方時，直線n與x軸，y軸的交點為A，D，與拋物線交點B，與直線m交與點C，

當直線n與G2交點在x軸下方時，直線n1與x軸，y軸的交點為A，H，與拋物線交點B1，與直線m交與點L，

當直線n與G2交點在x軸上方時，如圖1：

由題意△CDE∽△CFA，此時有：∠CDE=∠CFA，

直線m的解析式為，當x=0時，y=3，當y=0時，x=﹣6，

∴點E（0，3），點F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠CDE=tan∠CFA=，

∴=，

∵OA=3，

∴OD=6，

點D（0，6），

設直線n：y=mx+n，把D（0，6），點A（﹣3，0）代入得：，

解得：，

∴直線n：y=2x+6，

聯立直線n和拋物線G2得：，

解得：x=3，或x=﹣3（舍去）

此時y=12，

所以：點B（3，12），

當直線n與G2交點在x軸下方時，如圖2：

由題意△HLE∽△FLA，此時有：∠ELH=∠FLA=90°，

∠EHA=∠LFA，

直線m的解析式為，當x=0時，y=3，當y=0時，x=﹣6，

∴點E（0，3），點F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠EHA=tan∠LFA=，

∴=，

∵OA=3，

∴OH=6，

點H（0，﹣6），

設直線n：y=mx+n，把D（0，﹣6），點A（﹣3，0）代入得：

解得：，

∴直線n：y=﹣2x﹣6，

聯立直線n和拋物線G2得：，

解得：x=﹣1，或x=﹣3（舍去）

此時y=﹣4，

所以：點B1（﹣1，﹣4），

綜上所述：存在點B，使直線m、n、x軸圍成的三角形和直線m、n、y軸圍成的三角形相似，點B的坐標為（3，12）和（﹣1，﹣4）．