Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD邊長為1，點P是AD邊上的一個動點，點A關于直線BP的對稱點是點Q，連結PQ、DQ、CQ、BQ．設AP﹦x．

（1）BQ+DQ的最小值是 ，此時x的值是 ；

（2）如圖2，若PQ的延長線交CD邊于E，并且∠CQD=90°．

① 求證：QE﹦EC； ② 求x的值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①證明見解析；②

【解析】

試題分析：（1）為點B到點D兩段折線的和．由兩點之間線段最短可知，連接DB，若點Q點落在BD上，此時和最短，且為．考慮到動點運動，這種情形是存在的，由，則，所以，即，求解可得；

由已知條件對稱分析，，則，由，可得，那么若有，則結論可證．再分析新條件，易得①結論．在中，根據勾股定理列出方程，求出方程的解即可；

試題解析：（1）若點Q點落在BD上，此時和最短，且為．，則，，即，解得；

①在正方形中，Q點為A點關于BP的對稱點，

在中，

即為的中點；

②在中，為的中點，解得