Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．
（1）求四邊形AQMP的周長；
（2）寫出圖中的兩對相似三角形（不需證明）；
（3）M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的性質可得到對應角相等對應邊相等，從而不難求得其周長；
（2）因為∠B=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；
（3）根據中位線的性質及菱形的判定不難求得四邊形AQMP為菱形．

解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，
∴四邊形APMQ是平行四邊形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠PMC=∠QMB．
∴BQ=QM，PM=PC．
∴四邊形AQMP的周長=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．

（2）∵PM∥AB，
∴△PCM∽△ACB，
∵QM∥AC，
∴△BMQ∽△BCA；

（3）當點M在BC的中點時，四邊形APMQ是菱形，
∵AB∥MP，點M是BC的中點，
∴

CM

CB

=

CP

AC

=

1

2

，
∴P是AC的中點，
∴PM是三角形ABC的中位線，
同理：QM是三角形ABC的中位線．
∵AB=AC，
∴QM=PM=

1

2

AB=

1

2

AC．
又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，
∴平行四邊形APMQ是菱形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的判定和性質，中位線的性質，菱形的判定等知識點的綜合運用．