Question

（1）如圖1，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數為60°，點B是弧

AD

的中點，在直徑CD上找一點，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
（2）拓展延伸：如圖2，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P，使∠APB=∠APD．保留作圖痕跡，不必寫出作法．

Answer 1

分析：（1）先作B關于CD的對稱點E，連接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，求出∠AOE=90°，求出△AOE是等腰直角三角形，根據勾股定理求出AE，即可求出答案；
（2）作B關于AC的對稱點，連接DE并延長，即可得出答案．

解答：解：（1）作B關于CD的對稱點E，則E正好在圓周上，
連接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，
則AP+BP最短，
∵∠AOD=60°，B為弧AD中點，
∴弧AB=弧BD，且弧AB的度數是30°，
∴∠AEB=15°（圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半），
∵B關于CD的對稱點是E，
∴弧BE的度數是60°，
∴∠AOE=90°，
∵OA=OE（都是半徑），
∴△OAE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE=2

2

．

（2）如圖所示：作B關于AC的對稱點E，連接DE并延長交AC于P即可，

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題、勾股定理、作圖與基本作圖等知識點的應用，解此題的關鍵是根據軸對稱的性質找出P點，題型較好，難度較大，對學生有較高的要求．