Question

【題目】如圖，△ABC為等腰直角三角形，點D是邊BC上一動點，以AD為直角邊作等腰直角△ADE，分別過A、E點向BC邊作垂線，垂足分別為F、G．連接BE．

（1）證明：BG=FD；

（2）求∠ABE的度數．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 90°.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到AD=DE，∠ADE=90°，根據余角的性質得到∠FAD=∠GDE，根據全等三角形的性質得到DG=AF，根據等腰直角三角形的性質得到AF=BF，于是得到結論；

（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠ABC=45°，根據全等三角形的性質得到DF=EG，推出△BGE是等腰直角三角形，于是得到結論．

（1）∵△ADE為等腰直角三角形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵AF⊥BC，EG⊥BC，

∴∠AFD=∠DGE=90°，

∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠EDG=90°，

∴∠FAD=∠GDE，

在△ADF與△DEG中，，

∴△ADF≌△DEG，

∴DG=AF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∴BF=DG，

∴BG=DF；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵△ADF≌△DEG，

∴DF=EG，

∴BG=EG，

∵BG⊥EG，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∴∠GBE=45°，

∴∠ABE=90°．