Question

【題目】在直角坐標系中，A為x軸負半軸上的點，B為y軸負半軸上的點．

（1）如圖①，以A點為頂點，AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．若已知A（﹣2，0）B（0，﹣4），試求C點的坐標；

（2）如圖②，若點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（0，a），點D的縱坐標為b，以B為頂點，BA為腰作等腰Rt△ABD，當B點沿y軸負半軸向下運動且其他條件都不變時，求b﹣a的值；

（3）如圖③，E為x軸負半軸上的一點，且OB＝OE，OF⊥EB于點F，以OB為邊在第四象限作等邊△OBM，連接EM交OF于點N，探究EM-ON與EN的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣6，﹣2）；（2）2；（3）EN＝（EM﹣ON），理由見解析

【解析】

（1）作CQ⊥OA于點Q，可以證明△AQC≌△BOA，由QC=AO，AQ=BO，再由條件就可以求出C的坐標；

（2）作DP⊥OB于點P，可以證明△AOB≌△BPD，則有AO=BP=OB-PO=-a-（-b）=b-a為定值；

（3）作BH⊥EB于B，由條件可以得出∠1=30°，∠2=∠3=∠EMO=15°，∠EOF=∠BMG=45°，EO=BM，可以證明△ENO≌△BGM，則GM=ON，就有EM-ON=EM-GM=EG，最后由平行線分線段成比例定理就可以得出EN=EM-ON的一半．

（1）如圖（1）作CQ⊥OA于點Q，

∴∠AQC＝90°

∵△ABC是等腰Rt△，

∴AC＝AB，∠CAB＝90°，

∴∠ACQ＝∠BAO，

在△AQC與△BOA中，

，

∴△AQC≌△BOA，

∴CQ＝AO，AQ＝BO．

∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），

∴OA＝2，OB＝4，

∴CQ＝2，AQ＝4，

∴OQ＝6，

∴C（﹣6，﹣2）．

（2）如圖（2）作DP⊥OB于點P，

∴∠BPD＝90°，

∵△ABD是等腰Rt△，

∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，

∴∠ABO＝∠BDP，

在△AOB與△BPD中，

，

∴△AOB≌△BPD，

∴AO＝BP，

∵BP＝OB﹣PO＝﹣a﹣（﹣b）＝b﹣a，

∴A（﹣2，0），

∴OA＝2，

∴b﹣a＝2，

∴當B點沿y軸負半軸向下運動時AO＝BP＝b﹣a＝2，

（3）如圖（3）在ME上截取MG＝ON，連接BG，

∵△OBM是等邊三角形，

∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，

∴EO＝MO，∠EBM＝105°，∠1＝30°，

∵OE＝OB， ∴OE＝OM＝BM．

∴∠3＝∠EMO＝15°，

∴∠BEM＝30°，∠BME＝45°，

∵OF⊥EB，

∴∠EOF＝45°

∴∠EOF＝∠BME，

在△ENO與△BGM中，

，

∴△ENO≌△BGM，

∴BG＝EN．

∵ON＝MG，

∴∠2＝∠3，

∴∠2＝15°，

∴∠EBG＝90°

∴BG＝EG，

∴EN＝EG，

∵EG＝EM﹣GM，

∴EN＝（EM﹣GM），

∴EN＝（EM﹣ON）.