Question

（2008•成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△OAB的頂點A的坐標為（10，0），頂點B在第一象限內，且|AB|=3，sin∠OAB=．
（1）若點C是點B關于x軸的對稱點，求經過O、C、A三點的拋物線的函數表達式；
（2）在（1）中，拋物線上是否存在一點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若將點O、點A分別變換為點Q（-2k，0）、點R（5k，0）（k＞1的常數），設過Q、R兩點，且以QR的垂直平分線為對稱軸的拋物線與y軸的交點為N，其頂點為M，記△QNM的面積為S_△QMN，△QNR的面積S_△QNR，求S_△QMN：S_△QNR的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求過O、C、A三點的拋物線解析式，需要先求出C點的坐標，過B作BD⊥x軸于D，在Rt△ABD中，通過解直角三角形，可求得B點坐標，然后根據關于x軸對稱的點的坐標特征，得到點C的坐標，從而利用待定系數法來求得該拋物線的解析式．
（2）若以P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形，則此四邊形中，必有一組對邊平行，且不相等；可分別過O、C、A作AC、OA、OC的平行線，那么所求的P點，必在這些平行線與拋物線的交點中，然后再分別判定所得四邊形的平行邊是否相等即可，若相等，則所得四邊形為平行四邊形，不符合題意，若不相等，則所求四邊形為梯形，那么所作平行線與拋物線的交點即為所求的P點．
（3）此題可首先表示出拋物線的解析式，然后分兩種情況：①拋物線開口向上，②拋物線開口向下；解法一致，首先得到M、N、Q、R的坐標，△QNR的面積可直接求出，而△QMN的面積可通過作x軸的垂線，利用割補法來求得；進而可得到它們的面積比．
解答：解：（1）如圖，過點B作BD⊥OA于點D．在Rt△ABD中，
∵|AB|=，sin∠OAB=，
∴|BD|=|AB|•sin∠OAB=×=3．
又由勾股定理，得=
∴|OD|=|OA|-|AD|=10-6=4．
∵點B在第一象限，
∴點B的坐標為（4，3）． …3分
設經過O（0，0）、C（4，-3）、A（10，0）三點的拋物線的函數表達式為y=ax²+bx（a≠0）．
由
∴經過O、C、A三點的拋物線的函數表達式為．…2分

（2）假設在（1）中的拋物線上存在點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形
①∵點C（4，-3）不是拋物線的頂點，
∴過點C作直線OA的平行線與拋物線交于點P₁．則直線CP₁的函數表達式為y=-3．
對于，
令y=-3則得x=4或x=6．
∴
而點C（4，-3），
∴P₁（6，-3）．
在四邊形P1AOC中，CP₁∥OA，顯然|CP₁|≠|OA|．
∴點P₁（6，-3）是符合要求的點． …1分
②若AP₂∥CO．
設直線CO的函數表達式為y=k₁x．
將點C（4，-3）代入，
得4k₁=-3
∴
∴直線CO的函數表達式為．
于是可設直線AP₂的函數表達式為．
將點A（10，0）代入，得．
∴直線AP₂的函數表達式為．
由，
即（x-10）（x+6）=0．
∴而點A（10，0），
∴P₂（-6，12）．
過點P₂作P₂E⊥x軸于點E，則|P₂E|=12．
在Rt△AP₂E中，由勾股定理，得．
而|CO|=|OB|=5．
∴在四邊形P₂OCA中，AP₂∥CO，但|AP₂|≠|CO|．
∴點P₂（-6，12）是符合要求的點． …1分
③若OP₃∥CA，設直線CA的函數表達式為y=k₂x+b₂將點A（10，0）、C（4，-3）代入，
得
∴直線CA的函數表達式為．
∴直線OP₃的函數表達式為，由，
即x（x-14）=0．
∴
而點O（0，0），
∴P₃（14，7）．過點P₃作P₃E⊥x軸于點E，則|P₃E|=7．
在Rt△OP₃E中，由勾股定理，得．而|CA|=|AB|=．
∴在四邊形P₃OCA中，OP₃∥CA，但|OP₃|≠|CA|．
∴點P₃（14，7）是符合要求的點． …1分
綜上可知，在（1）中的拋物線上存在點P₁（6，-3）、P₂（-6，12）、P₃（14，7），
使以P、O、C、A為頂點的四邊形為梯形． …1分

（3）由題知，拋物線的開口可能向上，也可能向下．
①當拋物線開口向上時，則此拋物線與y軸的負半軸交于點N．
可設拋物線的函數表達式為y=a（x+2k）（x-5k）（a＞0）．
即y=ax²-3akx-10ak²=．
如圖，過點M作MG⊥x軸于點G．
∵Q（-2k，0）、R（5k，0）、G（、N（0，-10ak²）、M，
∴|QO|=2k，|QR|=7k，|OG|=，|QG|=．
∴•|QR|•|ON|
=×7k×10ak²=35ak³．
S_△QMN=•|QO|•|ON|+（|ON|+|GM|）•|OG|-•|QG|•|GM|=
=．
∴．…2分
②當拋物線開口向下時，則此拋物線與y軸的正半軸交于點N，同理，可得S_△QNM：S_△QNR=3：20．…1分
綜上所知，S_△QNM：S_△QNR的值為3：20． …1分
點評：此題考查了拋物線解析式的確定、梯形的判定、三角形面積的求法等重要知識點，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．