Question

2、已知，如圖，線段AB上有任一點(diǎn)M，分別以AM，BM為邊長(zhǎng)作正方形AMFE、MBCD．正方形AMFE、MBCD的外接圓⊙O、⊙O′交于M、N兩點(diǎn)，則直線MN的情況是（　　）

A、定直線

B、經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

C、一定不過(guò)定點(diǎn)

D、以上都有可能

Answer 1

分析：連接NA，NB，根據(jù)四邊形AMFE、MBCD都是正方形，得到∠ANM=∠BNM=45°，即∠ANM=90°，證得點(diǎn)N總在以AB為直徑的圓上，延長(zhǎng)NM交以AB為直徑的圓于P點(diǎn)，可得到P為半圓的中點(diǎn)，由于AB固定，則點(diǎn)P為定點(diǎn)．

解答：解：連接NA，NB．如圖，
∵四邊形AMFE、MBCD都是正方形，
∴在⊙O中，∠ANM=45°；在⊙O′中，∠BNM=45°，
即∠ANM=90°，所以點(diǎn)N總在以AB為直徑的圓上，
延長(zhǎng)NM交以AB為直徑的圓于P點(diǎn)．
∵∠ANM=∠BNM=45°，
∴弧PA=弧PB，即P為半圓的中點(diǎn)．由于AB固定，則點(diǎn)P為定點(diǎn)．
所以直線MN過(guò)定點(diǎn)P．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理及其討論．同弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等；90度的圓周角所對(duì)的弦為直徑．