Question

【題目】閱讀材料：如圖①，在平面直角坐標系中，A，B兩點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點P的坐標為(xp，yp)．由xp－x1＝x2－xp，得xp＝，同理得yp＝，所以AB的中點坐標為P(,).由勾股定理得AB2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2，所以A，B兩點間的距離公式為AB＝.

注：上述公式對A，B在平面直角坐標系中其他位置也成立．

解答下列問題：

如圖②，拋物線y＝ax2＋bx－3(a≠0)與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且BO＝OC＝3AO，連接BC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，試求出符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3（2）P點坐標為(1，－1)或(1， )或(1，－ )或(1，－3＋)或(1，－3－)

【解析】試題分析：（1）由拋物線y＝ax2＋bx－3交y軸于點C，求出點C的坐標為(0，－3)，由BO＝OC＝3AO，可得點B的坐標為(3，0)，點A的坐標為(－1，0)．因為該拋物線與x軸交于A，B兩點，即可求出a、b的值；

（2）△PBC是等腰三角形，分以下三種情況：①當PB＝PC；②當BC＝PB；③當BC＝PC時討論即可.

試題解析：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx－3交y軸于點C，

∴點C的坐標為(0，－3)，

∴OC＝3.

∵BO＝OC＝3AO，

∴BO＝3，AO＝1，

∴點B的坐標為(3，0)，點A的坐標為(－1，0)．

∵該拋物線與x軸交于A，B兩點，

∴解得.

∴拋物線的表達式為y＝x2－2x－3；

(2)存在．由(1)知拋物線為y＝x2－2x－3，對稱軸為直線x＝1.設P點的坐標為(1，m)．

∵B點的坐標為(3，0)，C點的坐標為(0，－3)，

∴BC＝3，PB＝，PC＝

.∵△PBC是等腰三角形，分以下三種情況：

①當PB＝PC時，則＝，

∴m＝－1，

∴P點的坐標為(1，－1)；

②當BC＝PB時，則3＝，

∴m＝±，

∴P點的坐標為(1， )或(1，－ )；

③當BC＝PC時，則3＝，

∴m＝－3±，

∴P點的坐標為(1，－3＋)或(1，－3－)．

綜上所述，符合條件的P點坐標為(1，－1)或(1， )或(1，－ )或(1，－3＋)或(1，－3－)．