Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2），連接PQ．

（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；

（2）試探究t為何值時(shí)，△BPQ的面積是cm2；

（3）直接寫出t為何值時(shí)，△BPQ是等腰三角形；

（4）連接AQ，CP，若AQ⊥CP，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=1，t＝；（2）t1＝或t2＝；（3） 當(dāng)t＝或或時(shí)，△BPQ是等腰三角形；（4）t＝

【解析】

（1）由勾股定理可求AB的長，分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解；

（2）過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，由平行線分線段成比例可得PE=3t，由三角形的面積公式列出方程可求解；

（3）分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；

（4）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根據(jù)△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入計(jì)算即可．

（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，

∴AB＝＝＝10cm，

∵△BPQ與△ABC相似，且∠B＝∠B，

∴或，

當(dāng)時(shí)，

∴，

∴t＝1，

當(dāng)，

∴，

∴t＝；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，

∴PE∥AC，

∴，

∴PE＝＝3t，.

∴S△BPQ＝×（8﹣4t）×3t＝，

∴t1＝或t2＝；

（3）①當(dāng)PB＝PQ時(shí)，如圖1，過P作PE⊥BQ，

則BE＝BQ＝4﹣2t，PB＝5t，

由（2）可知PE＝3t，

∴BE＝＝＝4t，

∴4t＝4﹣2t，

∴t＝

②當(dāng)PB＝BQ時(shí)，即5t＝8﹣4t，

解得：t＝，

③當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，如圖2，過Q作QG⊥AB于G，

則BG＝PB＝t，BQ＝8﹣4t，

∵△BGQ∽△ACB，

∴，

∴

解得：t＝．

綜上所述：當(dāng)t＝或或時(shí)，△BPQ是等腰三角形；

（4）過P作PM⊥BC于點(diǎn)M，AQ，CP交于點(diǎn)N，如圖3所示：則PB＝5t，

∵AC⊥BC

∴△PMB∽△ACB，

∴＝

∴BM＝4t，PM＝3t，且BQ＝8﹣4t，BC＝8，

∴MC＝8﹣4t，CQ＝4t，

∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，

∴∠NAC＝∠PCM，

∵∠ACQ＝∠PMC，

∴△ACQ∽△CMP，

∴，

∴

∴t＝