Question

【題目】感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，點P在BC邊上，當∠APD＝90°時，可知△ABP∽△PCD．（不要求證明）

探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當∠B＝∠C＝∠APD時，求證：△ABP∽△PCD．

拓展：如圖③，在△ABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝6，BD＝4，則DE的長為　 　．

Answer 1

【答案】探究：見解析；拓展：.

【解析】

感知：先判斷出∠BAP＝∠DPC，進而得出結論；

探究：根據兩角相等，兩三角形相似，進而得出結論；

拓展：利用△BDP∽△CPE得出比例式求出CE，結合三角形內角和定理證得AC⊥AB且AC＝AB；最后在直角△ADE中利用勾股定理來求DE的長度．

解：感知：∵∠APD＝90°，

∴∠APB+∠DPC＝90°，

∵∠B＝90°，

∴∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠DPC，

∵AB∥CD，∠B＝90°，

∴∠C＝∠B＝90°，

∴△ABP∽△PCD；

探究：∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B＝∠APD+∠CPD．

∵∠B＝∠APD，

∴∠BAP＝∠CPD．

∵∠B＝∠C，

∴△ABP∽△PCD；

拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，

∴，

∵點P是邊BC的中點，

∴BP＝CP＝3，

∵BD＝4，

∴，

∴CE＝，

∵∠B＝∠C＝45°，

∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，

即AC⊥AB且AC＝AB＝6，

∴AE＝AC﹣CE＝6﹣＝，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，

在Rt△ADE中，DE＝＝＝．

故答案是：．