Question

【題目】如圖1,在矩形ABCD中AB=4, BC=8,點E、F是BC、AD上的點，且BE=DF.

(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形.

(2)如果四邊形AECF是菱形，求這個菱形的邊長.

(3)如圖2,在(2)的條件下，取AB、CD的中點G、H,連接DG、BH, DG分別交AE、CF于點M、Q, BH分別交AE、CF于點N、P,求點P到BC的距離并直接寫出四邊形MNPQ的面積。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形AECF的邊長為5；（3）距離為，面積為

【解析】

（1）根據矩形的性質可得AD∥BC，AD=BC，又BE=DF，所以AF∥EC，AF=EC，從而可得四邊形AECF為平行四邊形；

（2）設菱形AECF的邊長為x，依據菱形的性質可得AE=EC=x，BE=8－x，在Rt△ABE中運用勾股定理可求解；

（3）先由中位線的性質得出CH=2，OH=1.5，再證明△PQH∽△PCB，根據相似三角形的性質得出h的w的值，再求出四邊形MNPQ的面積即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，BE=DF，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴AF∥EC，AF=EC，

∴四邊形AECF為平行四邊形.

（2）解：設菱形AECF的邊長為x，

∵四邊形AECF為菱形，AB=4，BC=8，

∴AE=EC=x，BE=8－x，

在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2即x2=42+（8－x）2，

解得x=5，

∴菱形AECF的邊長為5.

（3）連接GH交FC于點O，設點P到BC的距離為h，

∵G、H分別為AB、CD的中點，

∴OH是△CDF的中位線，CH=2，

∴△POH∽△PCB，

∵DF=8－5=3，

∴QH=1.5，

∴，解得h=，

由P到BC的距離可得N到BC的距離為，四邊形NECP的面積為，菱形面積為5×4=20；

∴四邊形MNPQ面積為=菱形AECF的面積-四邊形NECP的面積×2=20-×2=