Question

閱讀材料：在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．
如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為
（3，0）和（0，3

3

）．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動(dòng)，速度分別為1，

3

，2（單位長(zhǎng)度/秒）．一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以

3

3

（單位長(zhǎng)度/秒）的速度向上平行移動(dòng)（即移動(dòng)過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)﹒設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，直線l和動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
請(qǐng)解答下列問題：
（1）過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是

y=-

3

x+3

3

；
（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（0，

3

）

；當(dāng)t=

9

2

，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；
（3）作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′．在運(yùn)動(dòng)過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

Answer 1

分析：（1）考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)；
（2）此題要掌握點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線，要掌握點(diǎn)P在不同階段的運(yùn)動(dòng)速度，即可求得；
（3）此題需要分三種情況分析：點(diǎn)P在線段OA上，在線段OB上，在線段AB上；根據(jù)菱形的判定可知：在線段EF的垂直平分線上與x軸的交點(diǎn)，可求的一個(gè)；當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，根據(jù)對(duì)角線互相平分且互相垂直的四邊形是菱形求得．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y=ax+b（a≠0）．則

0=3a+b 3 3 =b

，
解得，

a=- 3 b=3 3

，
故直線AB的解析式為：y=-

3

x+3

3

；（4分）

（2）∵A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和（0，3

3

），
∴AO=3，OB=3

3

，
∴t_AO=3÷1=3（秒），t_OB=4-3=1（秒），
∴P（0，

3

）；
根據(jù)題意知，點(diǎn)P與點(diǎn)E在OB上重合，則

OE

3 3

=

OA

1

+

OE

3

，即

OE

3 3

=3+

OE

3

，
解得，OE=

3 3

2

，
∴t=

3 3

2

÷

3

3

=

9

2

，即t=

9

2

；（4分）（各2分）

（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，過F作FG⊥x軸，G為垂足（如圖1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，
∴△EOP≌△FGP（SAS），∴OP=PG，
又∵OE=FG=

3

3

t，∠A=60°，∴AG=FGtan60°=

1

3

t；
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=

2

3

t，
由3-t=

2

3

t，得
t=

9

5

；（1分）
當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；
當(dāng)點(diǎn)P在線段BA上時(shí)，
過P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分別為垂足（如圖2），則四邊形PMEH是矩形，
∴PM=EH．
∵四邊形PEP'F是菱形，
∴EH=FH．
∵OE=

3

3

t，∴BE=3

3

-

3

3

t，∴EF=BEtan60°=3-

t

3

∴MP=EH=

1

2

EF=

9-t

6

，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•

1

2

=

9-t

6

，解得t=

45

7

．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，還考查了菱形的性質(zhì)與判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性．