Question

【題目】⊙O的半徑為5，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點D在直線AB上.

（1）如圖（1），已知∠BCD=∠BAC，求證：CD是⊙O的切線；

（2）如圖（2），CD與⊙O交于另一點E，BD：DE：EC=2；3：5求圓心O到直線CD的距離；

（3）若圖（2）中的點D是直線AB上的動點，點D在運動過程中，會出現在C，D，E三點中，其中一點是另兩點連線的中點的情況，問這樣的情況出現幾次？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）三次.

【解析】

試題（1）連接OC，證明OC⊥CD即可.

（2）連接OC、OE，過點O作OF⊥CE于點F，證明△BCD∽△EAD，得比例式，即，根據BD：DE：EC=2：3：5，可設BD=2k，DE=3k，EC=5k，代入求出k即可得BD=2，DE=3，EC=5，從而根據勾股定理即可求得OF.

（3）分點D在⊙O外，點E是CD中點和點D在⊙O內，點D是CE中點兩種情況討論即可.

試題解析：解：（1）證明：如答圖1，連接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.

又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.

又∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD =∠OCA.

∴∠OCD=∠BCD +∠OCB=90°，即OC⊥CD.

∴CD是⊙O的切線.

（2）如答圖2，∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，∴△BCD∽△EAD.

∴，即.

又∵BD：DE：EC=2：3：5，∴可設BD=2k，DE=3k，EC=5k.

又∵⊙O的半徑為5，∴，解得k=1.

∴BD=2，DE=3，EC=5.

連接OC、OE，過點O作OF⊥CE于點F，

則△OEC是等邊三角形， EF=CE=.

∴根據勾股定理得

OF=.

∴圓心O到直線CD的距離是.

（3）這樣的情形共有出現三次：當點D在⊙O外時，點E是CD中點，有如答圖3，4的兩種情形；當點D在⊙O內時，點D是CE中點，有如答圖5的一種情形.