Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑.

（1）如圖a，點D為 的中點，當弦BD=AC時，求∠A.

（2）如圖b，點D為的中點，當AB=6，點E為BD的中點時，求OE的長.

（3）如圖c，點D為上任意一點（不與A、C重合），若點C為的中點，探求BD、AD、CD之間的數量關系，直接寫出你探求的結論，不要求證明.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）；（3）BD－AD=CD

【解析】

（1）連接OC，由BD=AC證明，進一步證明C為的中點，從而可證∠A=∠COB=××180°=30°；

（2）連結OD，BC，證明△DEF≌△BEC，分別OD，OF，BC，DF，AC以及EF的長，

在Rt△OFE中運用勾股定理即可求得OE=；

（3）連接BC，可證明∠BAC=∠BDC=45°，過點C作CF⊥CD交BD于點F，證明△ACD≌△BCF，根據BD=BF+DF可得結論.

(1) 連結OC

∵點D為的中點，

∴

∵BD=AC

∴

∴，即點C為的中點.

∴

∴∠A=∠COB=××180°=30°.

(2）連結OD，BC.

∵AB為⊙O的直徑,

∴∠C=90ｏ

∵點D為的中點，半徑OD所在的直線為⊙O的對稱軸

∴點A的對應點為C

∴OD⊥AC，OD分AC,即：AF=CF，

∵點E為BD的中點，

∴BE=DE，

在△DEF和△BEC中

∴△DEF≌△BEC

∴CE=EF, BC=DF

∵AO=BO, AF=CF

∴OF=BC=DF ，

又AB=6，

∴OD=3

∴OF=1, BC=DF=2

在Rt△ABC中，AB=6，BC=2,由勾股定理求得AC=4，

∵點F為AC的中點，點E為FC的中點

∴EF=，

在Rt△OFE中，EF=，OF=1,由勾股定理求得OE=

（3）BD、AD、CD之間的關系為：BD－AD=CD

連接BC，

∵AB是直徑，點C為的中點，

∴∠ACB=90°,AC=BC，

∴∠BAC=∠BDC=45°，

過點C作CF⊥CD交BD于點F，

∴△DCF是等腰直角三角形，

∴CD=CF，DF=CD，

∵∠ACD=∠BCF=90°-∠ACF，

又AC=BC，CD=CF

∴△ACD≌△BCF

∴AD=BF

∵BD=BF+DF

∴BD=AD+CD，即BD－AD=CD.