Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P．

（1）求證：AP=BQ；
（2）在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中四對(duì)線段，使每對(duì)中較長(zhǎng)線段與較短線段長(zhǎng)度的差等于PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正方形ABCD

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°

∵DP⊥AQ

∴∠ADP+∠DAP=90°

∴∠BAQ=∠ADP

∵AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P

∴∠AQB=∠DPA=90°

∴△AQB≌△DPA（AAS）

∴AP=BQ

（2）解：①AQ﹣AP=PQ

②AQ﹣BQ=PQ

③DP﹣AP=PQ

④DP﹣BQ=PQ

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根據(jù)已知條件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷分析．本題主要考查了正方形以及全等三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握：正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角．解題時(shí)需要運(yùn)用：有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，以及全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．