Question

【題目】Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠BAC＝30°, BC＝84. D,E分別在射線BC,AC上, AD與BE交于F.

(1)從頂點A所作三角形中線長為_______;

(2)若D恰為BC邊中點, E在邊AC上且AE:EC＝6:1, 求∠AFE.

(3) 當AD與BE所成銳角為60°,求CE.

Answer 1

【答案】（1）42（2）60°（3）.

【解析】

（1）先根據已知條件解得AC的長，因為從頂點A所作三角形中線，所以是連接點A和對邊BC中點的線段，根據勾股定理可得結果；(2) 在Rt△BCE中，tan∠CBE== =, 過點D作DN⊥AB于點N，因為S△ABD=×BD×AC=×AB×DN，即BD×AC= AB×DN，42×84=168×DN，解得：DN=21，可得tan∠NAD＝= =，所以∠CBE=∠BAD，從而∠AFE=∠BAD+ABF=∠BAD+ ∠CBE= 60°.(3) 因為條件是AD與BE所成銳角為60°，（2）中正好滿足此條件，所以在（2）的條件下，通過證明△ABF∽△ADB，求出AD= ，再過點F作FG//BC交AC于與G,得比例式DC:FG=AD:AF，從而求解.

解：.(1)∵∠C＝90°， ∠BAC＝30°, BC＝84，

∴AB=2BC=168，AC=BC=84,當D恰好是BC的中點時，CD=BC=42，

在Rt△ACD中，AD=== 42.

(2) ∵D恰為BC邊中點, E在邊AC上且AE:EC＝6:1,∴BD=DC=42，CE=AC=12,

在Rt△BCE中，tan∠CBE== =.

過點D作DN⊥AB于點N， ∵S△ABD=×BD×AC=×AB×DN，即BD×AC= AB×DN，42×84=168×DN，解得：DN=21，

在Rt△AND中，∵AN= =147，∴tan∠NAD＝= =.

∴∠CBE=∠BAD，從而∠AFE=∠BAD+ABF=∠BAD+ ∠CBE= 60°.

(3)∵（2）中AD與BE所成銳角為60°，所以在（2）的條件下：

∵∠CBE=∠BAD，∠BDF=∠ADB ∴△ABF∽△ADB,

∴AB=AF·AD，解得：AD=.

過點F作FG//BC交AC于與G,

DC:FG=AD:AF=13:16,

CG=84×3√3/13

FG:BC=16:26,

EC:CG=26:10

EC=252√3/5.